[프리드버그 선형대수학 -5th ed.] 1. 벡터공간, vectorspace, 1.2 벡터공간
1.2 벡터공간
체(Field):
체 $F$는 두 연산 $+$ 와 $\cdot$(덧셈(sum)과 곱셈(product))이 주어진 집합이다. $ x,y \in F$의 순서상에 대하여 $x+y, x\cdot y$가 $F$에 유일하게 존재한다. 그리고 모든 원소 $a,b,c \in F$에 대하여 다음 조건이 성립한다.
(F1) (덧셈과 곱셈에 대한 교환 법칙)
$a+b = b+a, a\cdot b = b\cdot a$
(F2) (덧셈과 곱셈에 대한 결합 법칙)
$(a+b)+c = a+(b+c), (a\cdot b)\cdot c = a \cdot (b\cdot c)$
(F3) (덧셈과 곱셈에 대한 항등원(identity))
$0+a = a, 1\cdot a = a$인 $0 \in F $와 $1 \in F $ (단, $1\neq 0)$가 존재한다.
(F4) (덧셈과 곱셈에 대한 역원(inverse))
각 $a \in F$와 영이 아닌 $b \in F$에 대하여 $a+c = 0, b\cdot d = 1$인 $c \in F$와 $d \in F$가 존재한다
(F5) (덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙)
$a \cdot (b+c) = a\cdot b + a \cdot c$
벡터공간(vector space):
체 $F$에서의 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) $V$는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산 합과 스칼라곱을 가지는 집합이다.
합(sum)은 $V$의 두 원소 $x,y$에 대하여 유일한 원소 $x,y \in V$를 대응하는 연산이다. 이때 , $x+y$는 $x$와 $y$이 합이라 한다.
스칼라곱(scalar multiplication)은 체 $F$의 원소 $a$와 벡터공간 $V$의 원소 $x$마다 유일한 원소 $ax \in V$를 대응하는 연산이다. 이때 $ax$는 $a$와 $x$의 스칼라곱이라 한다.
(VS1) 모든 $x,y \in V$에 대하여 $x+y = y+x$이다. (덧셈의 교환법칙)
(VS2) 모든 $x,y,z \in V$dp 대하여 $(x+y)+z = x+(y+z)$이다. (덧셈의 결합법칙)
(VS3) 모든 $x \in V$에 대하여 $x+0 = x$인 $0 \in V$가 존재한다.
(VS4) 각 $x \in V$마다 $x+y = 0$인 $y \in V$가 존재한다.
(VS5) 각 $x \in V$에 대하여 $1x = x$이다.
(VS6) 모든 $a,b \in F$와 모든 $x \in V$에 대하여 $(ab)x = a(bx)$이다.
(VS7) 모든 $a \in F$와 모든 $x,y \in V$에 대하여 $a(x+y) = ax +ay$이다.
(VS8) 모든 $a,b \in F$와 모든 $x \in V$에 대하여 $(a+b)x = ax + bx$이다.
체 $F$의 원소는 스칼라(scalar), 벡터공간 $V$의 원소는 벡터(vector)라고한다. 벡터공간은 정확하게는 $ F - 벡터공간 V$라 해야하지만 혼란의 여지가 없으면 체 $F$를 생략하고 $벡터공간 V$라 적는다. 주로 체 $F$는 실수집합 $\mathbb{R}$이나 복소수집합 $\mathbb{C}$이다.
순서쌍:
$a_1,a_2 \cdots a_n$ 이 체 $F$의 원소일 때, $(a_1,a_2 \cdots a_n)$ 꼴의 수학적 대상을 $F$에서 성분을 가져온 n 순서쌍(n-tuple)이라고 한다. 순서쌍을 구성하는 원소 $a_1,a_2 \cdots a_n$는 n 순서쌍의 성분(entry or component)이라고 하고, 두 순서쌍의 모든 성분이 동일할때, 두 순서쌍이 같다라고 한다.
예제 1 >
체 $F$에서 성분을 가져온 모든 n 순서쌍으니 집합을 $F^n$이라하고,
$u = (a_1, a_2, \cdots, a_n), v = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in F^n, c \in F$일 때 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 $F-벡터공간$이다.
$$u+v = (a_1 + b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n), cu = (ca_1, ca_2, \cdots, ca_n)$$
이에 따라, $R^3$, $C^2$에서도 합과 스칼라곱이 위와 같이 정의되므로 $F-벡터공간$이다.
벡터:
$F^n$의 벡터는 주로 열벡터로 표현한다.
$$\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\cdots \\
a_n
\end{pmatrix}$$
행렬:
$F$에서 성분을 가져온 $m \times n$행렬(matrix)는 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.
$$\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21}&a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots& \vdots & &\vdots \\
a_{m1}& a_{m2} & \cdots &a_{mn} \\
\end{pmatrix}$$
이때 모든 $a_{ij} \;(1\leq i \leq m, 1\leq j \leq n )$는 $F$의 원소이고, $i=j$인 성분 $a_{ij}$ 이 행렬의 대각성분(diagonal entry)이라한다. 행 index가 i인 모든 성분을 i 번째 행, 열 index가 j인 모든 성분을 j번째 열이라고 한다. 행렬에 속하는 모든 성분이 같을 때 두 행렬이 같다고 정의한다.
영행렬:
모든 성분이 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라고 하며 $O$으로 표기한다
정방행렬, 정사각행렬:
행의 개수와 열의 개수가같은 행렬을 정방행렬, 정사각행렬(square matrix)이라고한다.
예제 2 >
성분이 체 $F$의 원소인 모든 $m /times n$행렬의 집합은 $M_{m \times n}(F)$라 표기한다. $A,B \in M_{m \times n}(F)$일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 $M_{m \times n}(F)$은 벡터공간이다.
$$(A+B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}, (cA)_{ij} = cA_{ij} \;\; (단, 1\leq i \leq m, 1\leq j \leq n)$$
-> $F^n$ 연산의 확장
예제 3 >
체 $F$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$에서 $\mathfrak{F}(S,F)$는 S에서 F로 가는 모든 함수의 집합이다. $\mathfrak{F}(S,F)$에서 모든 $s \in S$에 대하여 $f(s) = g(s)$일 때, 두 함수 $f,g$는 같다고 한다.
$f,g \in \mathfrak{F}(S,F), c \in F, s \in S $일 때, 합과 스칼라곱을 다음과 같이 정의하면 $\mathfrak{F}(S,F)$는 벡터공간이다.
$$(f+g)(s) = f(s) + g(s), (cf)(s) = c[f(s)]$$
proof)
$(f+g)(s) = f(s) + g(s)$에서, $f+g$는 벡터와 벡터의 합, $f(s) + g(s)$는 체와 체의 합이다.
$(cf)(s) = c[f(s)]$에서도, $cf$는 스칼라곱, $c[f(s)]$는 체와 체의 곱이다.
(VS1) $(f+g)(s) = f(s) + g(s) = g(s) + f(s) = (g+f)(s)$
#체와 체의 합에서는 교환법칙이 성립하므로
(VS2) $((f+g)+h)(s) = (f+g)(s) + h(s) = f(s) + g(s) + h(s) = f(s) + (g+h)(s) = (f+(g+h))(s)$
#체와 체의 합에서는 결합법칙이 성립하므로
(VS3) $(f+0)(s) = f(s) + 0(s), 0(s)$ 가 $s \mapsto 0 \in F$ (정의역의 모든 원소가 공역의 0에 대응한다)를 만족하면,
$(f+0)(s) = f(s) + 0(s) = f(s) + 0 = f(s)$, 영함수가 덧셈에 대한 항등원이다.
(VS4) $(f+g)(s) = f(s) + g(s), g(s)$가$s \mapsto -f(s) \in F$을 만족하면, $(f+g)(s) = f(s) + g(s) = f(s) - f(s) = 0$이므로 $g$가 $f$의 덧셈에 대한 역원이다.
(VS5) $(1f)(s) = 1[f(s)] = f(s)$, 1이 곱셈에 대한 항등원이다
(VS6) $((ab)f)(s) = (ab)f(s) = a[bf(s)] = a(bf)(s)$
(VS7) $a(f+g)(s) = a[(f+g)(s)] = a[f(s) + g(s)] = a[f(s)] + a[gs] = (af + ag)(s)$
# 체에서는 분배법칙이 성립하므로
(VS8) $(a+b)f(s) = af(s) + bf(s) = a[f(s)] + b[f(s)] = (af+bf)(s)$
# 체에서는 분배법칙이 성립하므로