[프리드버그 선형대수학 -5th ed.] 1. 벡터공간, vectorspace, 1.1 개론

1. 벡터공간, vectorspace

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1.1 개론

벡터(vector): 크기와 방향을 모두 가진 물리량

 

벡터의 합(sum):  $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$

벡터의 합은 평행사변형 법칙(parallelogram law)를 사용하여 합성벡터로 나타낼 수 있다.

 

> 평행사변형 법칙(parallelogram law):

시점이 $P$로 일치하는 두 벡터 $x,y$의 합은 점 $P$에서 시작하는 벡터이고, 이는 $x$와 $y$를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타난다.

벡터의 합

벡터의 합의 대수적 이해:

벡터 $\vec{a}$의 종점을 $(a_1,a_2)$, 벡터 $\vec{b}$의 종점을 $(b_1,b_2)$라고하면 $\vec{a} + \vec{b}$의 종점은  $(a_1+b_1,a_2+b_2)$이다.

 

벡터의 스칼라곱(scalar multiplication):

 $\vec{x}$와 $0$이 아닌 실수 $t$에 대해서  $\vec{tx}$의 방향은$ t>0$일 때 $\vec{x}$의 방향과 같고 $ t<0$일 때 $\vec{x}$의 방향과 반대이다. $\vec{tx}$의 크기$ |\vec{tx}|$는 유향선분$ x$의 크기에 $|t|$를 곱한 것이다.영이 아닌 두 벡터 $\vec{x}, \vec{y}$에 대해서  $y = tx$인 0이 아닌 실수 $t$가 존재할 때 두 벡터는 평행(parallel)하다고 할 수 있다.

 

벡터의 합과 스칼라곱의 성질:

1. 모든 벡터 $x,y$에 대하여 $x+y = y+x$이다. (벡터의 합의 교환법칙)

2. 모든 벡터 $x,y,z$에 대하여 $(x+y)+z= x+(y+z)$이다. (벡터의 합의 결합법칙)

3. 모든 벡터 $x$에 대하여 $x+0=x$를 만족하는 벡터 0이 존재한다. (벡터의 합에 대한 항등원)

4. 각 벡터 $x$마다 $x+y = 0$을 만족하는 벡터 $y$가 존재한다. (벡터의 합에 대한 역원)

5. 모든 벡터 $x$에 대하여 $1x = x$이다.(벡터의 스칼라곱에 대한 항등원)

6. 모든 실수 $a,b$와 모든 벡터 $x$에 대하여 $(ab)x = a(bx)$이다. (벡터의 스칼라곱의 결합법칙)

7. 모든 실수 $a$와 모든 벡터  $x,y$에 대하여 $a(x+y)  =ax + by$이다. (분배법칙)

8. 모든 실수 $a,b$와 모든 벡터 $x$에 대하여 $(a+b)x = ax+bx$이다. (분배법칙)

 

서로 다른 두점 A, B를 지나는 직선의 방정식:

시점이 $O$이고 종점이 $A,B$인 두 벡터를 각각 $u,v$라 하면, 시점이$A$이고 종점이 $B$인 벡터는 $v-u$이다.

두 점 $A,B$를 이은 직선 위의 임의의 점은 A를 시점으로하고 시점이$A$이고 종점이 $B$인 벡터의 스칼라곱으로 표현할 수 있다.

$$x = u+t(v-u) \;\; (t는 임의의 실수)$$

 

한 직선 위에 있지 않은 세 점으로 이루어진 평면:

시점이 $A$이고 종점이 $B,C$인 두 벡터를 각각 $u,v$라 하면, 세 점으로 이루어진 평면 위 임의의 점은 A를 시점으로하고 $u,t$의 각각의 스칼라곱의 벡터합으로 표현할 수 있다.

$$x = A + su +tv \;\;(s,t는 임의의 실수)$$