끵뀐꿩긘의 여러가지

확률 질량 함수(probability mass function, PMF): 이산 확률 변수의 확률분포를 나타내는 함수, 불연속 값에 대한 확률을 나타낸다 확률 밀도 함수(probability density function, PDF): 연속 확률 변슈의 확률 분포를 나타내는 함수, 연속 값에 대한 확률을 나타낸다. 누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function, CDF): 확률 변수 x가 $-\infty$부터 특정 포인트까지 누적된 확률을 결과값으로 하는 함수 누적분포 함수 F $$F_X(x) = P(X\ge x)$$ - 이산형 확률 변수의 CDF X가 이산확률 변수이더라도, cdf의 input은 모든 실수 값을 취할 수 있다. 당연히 이산확률 변수가 없는 곳에서는 변화가 없으..

도박꾼의 파산(Gambler's Ruin) A와 B 두명의 도박꾼이 매 라운드 1달러씩 걸고 도박을 한다. 이긴 사람은 상대방의 1달러를 가져가고, 둘 중 한 명이 가지고 온 돈이 바닥날 때까지 이 과정을 반복한다. k: A가 어떤 라운드를 이길 확률, 1-k, B가 어떤 라운드를 이길 확률 i: A가 초기에 가지고 있는 돈, N-i : B가 초기에 가지고 있는 돈 $P_i$: A가 i 달러로 시작하여 게임을 이길 확률 = P(A가 게임을 이길 확률|A가 i 달러를 가지고 있음) $$p_i = k*p_{i-1} +(1-k)*p_{i-1} (1\ge i \le N-1)$$ $p_0 = 0, p_N = 1$ 돈을 모두 잃었을 경우 이길 확률: 0, 돈을 모두 땄을 경우 이길 확률: 1 계차 방정식 풀이: g..

Monty Hall 문제 세 개의 문 중에 하나 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 개 뒤에는 염소가 있다. Monty가 내가 고르지 않은 문 중 하나를 열어 염소가 있는 것을 보여줬다면, 나는 처음 고른 문에서 바꾸는 것이 유리한가, 그렇지 않은가? i) 수형도로 풀기 ii) 전체 확률의 법칙으로 풀기 $S : $ 처음 선택에서 바꿔서 자동차가 있는 문을 맞추는 사건 $D_j : $ j번째 문 뒤에 자동차가 있는 사건 $(j \in {1,2,3})$ $$P(S) = P(S|D_1) * \frac{1}{3} + P(S|D_2)*\frac{1}{3} + P(S|D_3)*\frac{1}{3}$$ $$ = 0 * \frac{1}{3} + 1 * \frac{1}{3} + 1*\frac{1}{3} = \frac{2..

전확률정리(Law of Total Probability) $A_1,A_2\cdots A_n$은 서로소인 집합일때, $$P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + ... + P(B \cap A_n)$$ $$= P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) +... + P(B|A_n)P(A_n) $$ 조건부 확률 문제 1. 카드 한 벌에서 무작위로 두 장을 뽑았을 때, 1) P(두 장 다 에이스 | 에이스를 뽑는 경우) 2) P(두 장 다 에이스 | 스페이드 에이스를 하나 뽑는 경우) 조건부 확률 문제 2. 인구의 1%가 걸리는 병이 있고, 이 병의 검사 결과가 ‘95%의 정확도를 갖고 있다’고 하자. 검사가 양성으로 나왔을 때, 실제로 이 병에 걸렸을 경우는? 주어진 ..

독립(Independence) $P(A \cap B) = P(A)P(B)$가 성립할 때, 사건 A와 사건 B는 독립이다 *서로소(disjoint)와 독립은 다르다. - A,B가 서로소인 사건이라면 A가 발생한다면 B는 발생할 수 없다. 하지만 A,B가 독립인 사건이라면 A가 발생하는것은 B의 발생에 어떠한 영향도 끼치지 않는다 - 독립은 교사건의 확률을 구할때 곱하는 것을 의미한다 사건 ABC의 독립: $P(A \cap B) = P(A)P(B), P(B \cap C) = P(B)P(C), P(C \cap A) = P(C)P(A)$ $P(A\cap B \cap C) = P(A,B) = P(A)P(B)P(C)$가 모두 성립할 때 사건 A,B,C는 독립이다 Newton-Pepys Problem 공정한 주사위를..

Birthday Problem: k 명중에 2명 이상이 같은 생일을 가질 확률(일별 출생 확률은 동일하고 각각의 사건은 독립적이라고 가정한다) $k \geq 365$일때, 1년이 365일이고, 있는 사람이 365명보다 많으므로 무조건 1명은 생일이 겹친다 $$P(A) = 1$$ $k\leq 365$일때, k 명의 생일이 모두 다를 경우 = $\frac{365*364* \cdots * (365 - k +1)}{365^k}$ k명 중에 2명 이상이 같은 생일을 가질 확률 = 1 - k 명의 생일이 모두 다를경우 => k=23일때 50.7%, k=50일때, 97%, k=100일때 99.9%이다 직관적으로 생각하면, k = 23명일때 2명을 뽑는 경우의 수는 $$\binom{23}{2} = 253$$ 이므로, ..

문제풀이 팁: 1. Don't lose your common sense 2. Do check answers => trying special cases(simple & extreme cases) 3. label people or object (ex. n명의 사람이 있으면 각각을 1,2 ... n으로 이름 붙여라), 서로 구분 가능한지 생각해라 Sampling Table: Order matter(순서 상관 있음) no-matter(순서 상관 없음) replacement T(복원추출) $$_{n}\Pi _{k}$$ $$_{n}\textrm{H}_k$$ F(비복원추출) $$_{n}\textrm{P}_k$$ $$_{n}\textrm{C}_k$$ 참고: https://kkwong-guin.tistory.com/98..

Statistics is the logic of uncertainity 표본공간(sample space): 시행에서 발생가능한 모든 경우의 집합 사건(event): 표본공간의 부분집합 확률의 naive한 정의: $$P(A) = \frac{num.\; of\; favorable\; outcomes}{num.\; of\; possible\; outcomes}$$ assume: 모든 사건이 발생할 확률이 같다(ex. 화성에 생명체 존재? 있다 없다 2가지 경우의 수이므로 확률 =1/2 => (X)) 유한한 표본공간 => 항상 이 가정이 만족되는 것은 아니므로 적용 불가한 경우가 있다 셈 원리(Counting Principle): 곱의 법칙(Multiplication Rule): 발생가능한 경우의 수가 각각 n..