2강- 해석을 통한 문제풀이 및 확률의 공리 (Story Proofs, Axioms of Probability)

문제풀이 팁:

1. Don't lose your common sense

2. Do check answers => trying special cases(simple & extreme cases)

3. label people or object (ex. n명의 사람이 있으면 각각을 1,2 ... n으로 이름 붙여라), 서로 구분 가능한지 생각해라

 

Sampling Table:

 

		Order
		matter(순서 상관 있음)	no-matter(순서 상관 없음)
replacement	T(복원추출)	$$_{n}\Pi _{k}$$	$$_{n}\textrm{H}_k$$
	F(비복원추출)	$$_{n}\textrm{P}_k$$	$$_{n}\textrm{C}_k$$

참고: https://kkwong-guin.tistory.com/98

1강- 확률과 셈 원리 (Probability and Counting)

 

중복조합:

$$_{n}\textrm{H}_k = \binom{n+k-1}{k}$$

simple & extreme cases를 보면서 이 공식이 맞는지 확인한다

 

k = 0인 경우:

$$\binom{n-1}{0} = 1$$

n-1명 중에서 중복되게 0명을 뽑는 경우 = 아무도 안뽑는 경우 = 1

 

k = 1인 경우:

$$\binom{n}{1} = n$$

n명 중에서 중복되게 1명을 뽑는 경우 = 각 인원이 뽑힐 수 있다 = n

 

n = 2인 경우(simplest and non-trivial case):

$$\binom{k+1}{k} = \binom{k+1}{1} = k+1$$

 

한쪽 상자에 들어갈 경우의 수만 구해주면 자동으로 나머지는 반대쪽 상자에 들어가게 된다

2명 중에서 중복되게 k명을 뽑는경우 = 한쪽 상자에 들어갈 경우의 수 {0,1,..k} = k+1

 

일반화:

n개의 상자에 k개의 구별 불가능한 공들을 넣을 수 있는 경우의 수:

이 그림을 상자의 구분선을 넣어 기호와 같이 표현하면

$$\bigcirc \bigcirc \bigcirc ||\bigcirc \bigcirc |\bigcirc $$

=> k개 의 구슬과 n-1개의 칸막이의 배열의 경우의 수를 구한 것과 같다
칸막이의 위치를 정하면 공의 위치가 알아서 결정되고 반대도 성립한다.

n+k-1의 자리에서 칸막이의 자리 n-1개를 뽑는것 == n+k-1의 자리에서 공의 자리 k개를 뽑는 것

$$\binom{n+k-1}{k} = \binom{n+k-1}{n-1}$$

 

story proof:

수식적인 방법이 아니라 이야기를 통해서 풀어가는 방법

1. $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$

n명을 두팀으로 나눌 때, k 명을 뽑으면 나머지는 자동으로 다른 팀이 된다

but, 팀 간의 구분이 없으므로 팀원 수를 똑같이 나누면 /2를 해주어야한다

(ex. 10명 중 5명을 뽑았을 때, 한 팀과 다른 팀을 구분할 수 없다)

 

2. $$n\binom{n-1}{k-1} = k\binom{n}{k}$$

n명 중에 회장을 한명 뽑고, 회장이 들어간 동아리원이 총 k명이 되도록 나머지에서 k-1명을 뽑는다

== 동아리원 k명을 뽑고 그중에 회장을 한명 뽑는다

 

3.방데르몽드 항등식$$\binom{m+n}{k} = \sum_{j= 0}^{k}\binom{m}{j} \binom{n}{k-j}$$

m+n의 집단에서 k명을 뽑는것은 m집단에서 j 명을 뽑고, n 집단에서 k-j명을 뽑는 것의 전체합과 같다

 

Non-naïve definition of probability:

Probability space consists of S and P

S: sample space,표본공간,

P: function(input: take an event A which is subset of S ($A\subseteq S$)), 확률함수

$P(A) \in [0,1]$

 

확률의 세가지 공리

• $P(\emptyset ) = 0, P(S) = 1$
• $P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)$ ($A_i,A_j$는 서로소이다)
• $P(A^c) = 1-P(A) $