4강- 조건부 확률 (Conditional Probability)

독립(Independence)

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$가 성립할 때, 사건 A와 사건 B는 독립이다

 

 

*서로소(disjoint)와 독립은 다르다.

- A,B가 서로소인 사건이라면 A가 발생한다면 B는 발생할 수 없다.

하지만  A,B가 독립인 사건이라면 A가 발생하는것은 B의 발생에 어떠한 영향도 끼치지 않는다

- 독립은 교사건의 확률을 구할때 곱하는 것을 의미한다

 

사건 ABC의 독립:

$P(A \cap B) = P(A)P(B), P(B \cap C) = P(B)P(C), P(C \cap A) = P(C)P(A)$

$P(A\cap B \cap C) = P(A,B) = P(A)P(B)P(C)$가 모두 성립할 때 사건 A,B,C는 독립이다

 

Newton-Pepys Problem

공정한 주사위를 갖고 있을 때, 다음 중 어떤 경우가 발생할 확률이 가장 높은가?

1. 6개의 주사위 중에서 적어도 한 개가 6이 나온 경우

2. 12개의 주사위 중에서 적어도 두 개가 6이 나온 경우

3. 18개의 주사위 중에서 적어도 세 개가 6이 나온 경우

 

1번 =>

1 - 6개의 주사위 모두가 6이 안나온 경우 = $1-(\frac{5}{6})^6 \approx 0.665$

2번 =>

1 - 12개의 주사위 모두가 6이 안나온 경우 - 12개의 주사위 중 하나만 6이 나온경우

= $1-(\frac{5}{6})^{12} - \binom{12}{1}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^{11} \approx 0.619$

3번 =>

1 - 18개의 주사위 모두가 6이 안나온 경우

- 18개의 주사위 중 하나만 6이 나온 경우 - 18개의 주사위 중 두개만 6이 나온경우

=$1-\sum_{k=0}^{2}\binom{18}{k}(\frac{1}{6})^k(\frac{5}{6})^{18-k} \approx 0.597$

 

 

조건부 확률(Conditional Probability)

how should you update your probability/ beliefs/ uncertainty based on new evidence?

 

$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} (P(B) > 0)$$

 

직관적 접근 - 1. 조약돌 세계관

 

직관적 접근 - 2. 빈도학파 세계관

조건부 확률 정리