6강- Monty Hall 문제와 심슨의 역설 (Monty Hall, Simpson's Paradox)

Monty Hall 문제

세 개의 문 중에 하나 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 개 뒤에는 염소가 있다. Monty가 내가 고르지 않은 문 중 하나를 열어 염소가 있는 것을 보여줬다면, 나는 처음 고른 문에서 바꾸는 것이 유리한가, 그렇지 않은가?

 

i) 수형도로 풀기

ii) 전체 확률의 법칙으로 풀기

$S : $ 처음 선택에서 바꿔서 자동차가 있는 문을 맞추는 사건

$D_j : $ j번째 문 뒤에 자동차가 있는 사건 $(j \in {1,2,3})$

$$P(S) = P(S|D_1) * \frac{1}{3} + P(S|D_2)*\frac{1}{3} + P(S|D_3)*\frac{1}{3}$$

$$ = 0 * \frac{1}{3} + 1 * \frac{1}{3} + 1*\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

1번을 처음에 골랐다고 가정하면, 1번문에서 바꾸면 자동차가 있는 문을 맞출 수 없음

2번문에서 바꾸면, 몬티가 염소문을 하나 열어주기 때문에 무조건 맞춤

3번문에서 바꾸면, 몬티가 염소문을 하나 열어주기 때문에 무조건 맞춤

 

monty가 2번문을 여는 경우를 $2$라고 하면

$$P(S|2) = \frac{P(S\cap 2)}{P(2)} = \frac{0 + \frac{1}{3}}{ \frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$$

이므로, 조건부 확률과 조건부가 아닌 확률 값이 일치한다

 

직관적으로 생각하기

문을 늘려서 생각해보면, 100개의 문 중 내가 처음에 고른 문이 맞을 확률은 1/100이다. 반대로 말하면, 내가

고르지 않은 문에 자동차가 있을 확률이 99/100이고, 하나의 문을 남기고 나머지 문을 다 열어주면 나머지 하나의 문에 자동차가 있을 확률이 몰려 99/100이 된다.

https://tali.tistory.com/1113#head4

몬티홀 문제 완벽해설 총모음 (조건부확률 베이즈정리)

 

Simpson's Paradox(심슨의 역설)

부분에서 성립하는 대소관계는 전체를 보았을 때 역전될 수도 있다.

각각의 수술 성공률은 Dr.H가 높지만, 수술을 모두 합치면, Dr.N이 높다

 

A: 수술이 성공하는 사건

B: Dr. Nick가 수술을 집도하는 사건

C: 심장 수술을 받는 사건

 

<조건부 확률>

심장) $P(A|B,C) < P(A|B^C,C)$

반창고) $P(A|B,C^C) < P(A|B^C, C^C)$

<무조건부 확률>

전체) $P(A|B) > P(A|B^C)$

 

조건부확률에서는 Dr.H가 더 좋은 확률을 보이지만, 무조건부 확률에서는 Dr.N이 더 좋은 성적을 보인다

=> 여기서 C를 confounder(교란변수)라고 하며, 적절한 confounder를 확인하지 않으면 그릇된 판단을 내릴 수 있다

 

- 전체 확률의 정의로 심슨의 역설 나타내기

 $P(A|B) = P(A|B,C)P(C|B) + P(A|B,C^C)P(C^C|B)$에서

$P(A|B,C) < P(A|B^C,C), P(A|B,C^C) < P(A|B^C,C^C)$는 알 수 있지만,

$P(C|B), P(C^C|B)$는 알 수 없기 때문에 조건부 확률이 높아도 심슨의 역설이 나타날 수 있다