7강- 도박꾼의 파산 문제와 확률변수 (Gambler's Ruin and Random Variables)

 

 

도박꾼의 파산(Gambler's Ruin)

 

A와 B 두명의 도박꾼이 매 라운드 1달러씩 걸고 도박을 한다. 이긴 사람은 상대방의 1달러를 가져가고, 둘 중 한 명이 가지고 온 돈이 바닥날 때까지 이 과정을 반복한다.

 

k: A가 어떤 라운드를 이길 확률, 1-k, B가 어떤 라운드를 이길 확률

i: A가 초기에 가지고 있는 돈, N-i : B가 초기에 가지고 있는 돈

$P_i$: A가 i 달러로 시작하여 게임을 이길 확률  = P(A가 게임을 이길 확률|A가 i 달러를 가지고 있음)

$$p_i = k*p_{i-1} +(1-k)*p_{i-1} (1\ge i \le N-1)$$

$p_0 = 0, p_N = 1$ 돈을 모두 잃었을 경우 이길 확률: 0, 돈을 모두 땄을 경우 이길 확률: 1

계차 방정식 풀이:

guessing을 통한 풀이:

결과:

$$p_i = \frac{1-(\frac{1-k}{k})^i}{1-(\frac{1-k}{k})^{N-i}}(k \ne \frac{1}{2}) , \frac{i}{N}(k = \frac{1}{2})$$

 

해석:

1. 하우스와 같은 돈을 가지고 시작하고 이길 확률이 0.49여도 게임을 게속하다보면 이길 확률이 급격히 적어진다.

N = 20일때, 이길 확률: 0.40

N = 100일때, 이길 확률: 0.12

N = 200일때, 이길 확률: 0.02

 

2. 하우스와 공정한 게임을 한다고해도, 초기 자본금이 적으면 이길 확률이 적어진다.

3. 게임이 끝나지 않고 영원히 계속될 확률이 있는가?

초기 자본금이 같다고 할때 A가 이길 확률은$ \frac{i}{N}$ , B가 이길 확률은 $\frac{N-i}{N}$

$\frac{i}{N} + \frac{N-i}{N} = 1$이므로 영원히 계속되는 경우는 없다

 

 

확률 변수(Random Variable)

표본공간 S부터 실수 체계 R로 '맵핑' 하는 함수

베르누이(Bernoulli) 확률 분포

 

베르누이 시행(Bernoulli trial):

결과가 두 가지 중 하나로만 나오는 시행 (ex. H ,T 동전 던지기)

 

베르누이 확률 변수:

베르누이 시행의 결과를 실수 0 또는 1로 바꾼 것(두가지 값만 가질 수 있으므로, 이산 확률 변수이다)

 

베르누이 확률 분포:

확률 변수 X가 베르누이 확률 변수의 분포를 따른다.

$$X \sim Bern(x;\mu)$$

$$Bern(x;\mu) = \begin{cases} \mu & \text{ if } x= 1 \\ 1-\mu & \text{ if } x= 0 \end{cases}$$

$$Bern(x;\mu) = \mu ^x (1-\mu)^{(1-x)}$$

 

$\mu$는 1이 나올 확률을 의미한다.

 

이항(Bionomial) 분포

배르누이 시행을 N번 반복하는 경우

 

확률 변수 X가 이항 분포를 따른다.

$$X \sim Bin(x;N,\mu) = \binom{N}{x}\mu ^x(1-\mu)^{N-x}$$